Shepherd's Blog

53. 最大子数组和

https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/description/

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：

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输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

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输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

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输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

  • 1 <= nums.length <= 105
  • -104 <= nums[i] <= 104

进阶：如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

假设 $nums$ 的长度为 $n$ ，下标从 $0$ 到 $n-1$ 。我们用 $presum(i)$ 表示以下标 $i$ 结尾的前 $i$ 个数之和，可以得出 $presum(i)=nums(i)+presum(i-1)$ 。

我们用 $minPresum(i)$ 表示前 $i$ 个前缀和中最小的一个，即 $minPresum(i)=min_{0\leq i\leq n-1}presum(i)$ 。

我们用 $f(i)$ 表示以第 $i$ 的数结尾的 和最大连续子数组 ，由以上两个我们可以得出，$f(i)=max{presum(i)-minPresum(i)}$ 。

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class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] presum = new int[n + 1];
        int minPresum = 0;
        int res = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            presum[i + 1] = presum[i] + nums[i];
            res = Math.max(res, presum[i + 1] - minPresum);
            minPresum = Math.min(presum[i + 1], minPresum);
        }
        return res;
    }
}

由于 $presum(i)$ 只与 $nums(i)$ 有关，所以我们可以省略 $presum(i)$ 的过程值。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int presum = 0;
        int res = Integer.MIN_VALUE;
        int minPresum = 0;
        for (int i : nums) {
            presum += i;
            res = Math.max(res, presum - minPresum);
            minPresum = Math.min(minPresum, presum);
        }
        return res;
    }
}
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